Question

26、如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线交AD于O，交AC于E，OG∥AC交BC于G．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）求证：△BAO≌△BGO．
（3）求证：四边形AOGE是菱形．

Answer 1

分析：（1）因为∠BAC=Rt∠，所以∠6+∠1=90°，又因为AD⊥BC，所以∠7+∠5=90°，因BE是∠ABC的平分线，故∠6=∠7，∠5=∠1，∠5与∠2是对顶角，即∠5=∠2，所以可求证∠1=∠2；
（2）因为OG∥AC，所以∠3=∠C，又因为∠4=∠C，所以有∠3=∠4，因BE是∠ABC的平分线，则∠ABO=∠GBO，BO共边，即可根据AAS判定△BAO≌△BGO；
（3）因为△BAO≌△BGO，所以OA=OG，又因为∠1=∠2，所以OA=AE，即有OG平行且等于AE，故AOGE为平行四边形，又因为OA=OG，所以可求证四边形AOGE是菱形．

解答：证明：（1）∵∠BAC=Rt∠
∴∠6+∠1=90°
∵AD⊥BC
∴∠7+∠5=90°
∵BE是∠ABC的平分线
∴∠6=∠7
∴∠5=∠1
又∵∠5=∠2
∴∠1=∠2；

（2）∵OG∥AC
∴∠3=∠C
∵∠4=∠C
∴∠3=∠4
∵BE是∠ABC的平分线
∴∠ABO=∠GBO
∵OB=OB
∴△BAO≌△BGO；

（3）∵△BAO≌△BGO
∴OA=OG
∵∠1=∠2
∴OA=AE
∴OG平行且等于AE
∴AOGE为平行四边形
∵OA=OG
∴AOGE为菱形．

点评：本题综合考查三角形全等的判定方法和菱形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．