Question

20．两个完全相同的矩形纸片ABCD、A′BC′D如图放置，重叠部分是四边形BMDN．
（1）试证明四边形BNDM为菱形；
（2）MN与A′C是什么位置关系，试证明．

Answer 1

分析 （1）易证四边形BNDM是平行四边形；根据AB=BA′，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△A′BN，得BM=BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证；
（2）通过Rt△BA′N≌Rt△CDN，得到A′N=CN，推出∠A′NG=∠CNG，根据等腰三角形的性质结论得到结论．

解答 （1）证明：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD、BA′DE，根据矩形的对边平行，
∴BC∥AD，BE∥DA′，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵∠ABM+∠MBN=90°，∠MBN+∠A′BN=90°，
∴∠ABM=∠A′BN．
在△ABM和△A′BN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠A′BN}\\{AB=BA′}\\{∠A=∠BA′N=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△A′BN，（ASA）．
∴BM=BN，
∴四边形BNDM是菱形；

（2）解：MN垂直平分A′C，
在Rt△BA′N与Rt△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{A′B=CD}\\{BN=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BA′N≌Rt△CDN，
∴A′N=CN，
∵∠BNM=∠DNM，∠A′NG=∠DNM，∠CNG=∠BNM，
∴∠A′NG=∠CNG，
∴MN垂直平分A′C．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的判断，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．