Question

17．如图，三个正方形拼成一个矩形ABEF．
（1）求证：△ACE∽△DCA；
（2）求∠2+∠3的度数．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可求出AC的长，再根据相似三角形的判定方法即可证明△ACE∽△DCA；
（2）由（1）可知：△ACE∽△DCA，所以∠3=∠DAC，根据三角形的外角和定理即可求出∠2+∠3的度数．

解答 （1）证明：∵边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵DC=a，EC=2a，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ACE=∠DCA，
∴△ACE∽△DCA；

（2）解：△ACE∽△DCA，
∴∠3=∠DAC，
∵∠1=∠2+∠DAC=45°，
∴∠2+∠3=45°．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及三角形外角和定理，题目的综合性较强，难度一般．