Question

如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90゜，AD平分∠OAB交OB于D，OE⊥AD交AB于E，垂足为F，
（1）求证：OD=BE； 
（2）若DF=

2

，求AD-OE的值．

Answer 1

分析：（1）连接DE，证△EAF≌△OAF，推出AE=AO，∠AEO=∠AOE，求出OD=DE，求出BE=DE，即可得出答案；
（2）在AD上截AM=OE，连接OM，证△AMO≌△OEB，推出MO=BE=OD，求出DF=MF，AD-OE=DM=2DF，代入求出即可．

解答：证明：（1）连接DE，
∵OE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFO=90°，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAF=∠OAF，
在△EAF和△OAF中，

∠EAF=∠OAF AF=AF ∠EFA=∠OFA

，
∴△EAF≌△OAF（ASA），
∴AE=AO，∠AEO=∠AOE，
∵AD⊥OE，
∴EF=FO，
∴DE=DO，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠AEO=∠AOE，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠EDB=∠AEO-∠B=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴OD=BE．

（2）解：在AD上截AM=OE，连接OM，
∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAM=22.5°，
∵OD=DE，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠EDB=45°=∠DEO+∠DOE，
∴∠EOB=22.5°=∠OAM，
在△AMO和△OEB中，

AO=OB ∠OAM=∠EOB AM=OE

，
∴△AMO≌△OEB（SAS），
∴MO=BE=OD，
∵OE⊥AD，
∴DF=MF，
∴AD-OE=DM=2DF=2

2

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．