Question

如果二次函数y=ax²+2x+c的图象的最高点是M（x，y），并且二次函数图象过点P（1，），若x取x±n（n=1，2，3…）时，相应的函数值为y-n²．
（1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B，求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函数解析式只涉及两个待定系数a，c．把x=1，y=及由顶点x=-，y=；得x=x±n=-±n，y=y-n²=-n²．分别代入二次函数解析式即可；
（2）△PAB的面积=AB×点P的纵坐标÷2．
解答：解：（1）将P（1，），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2=，
并且a＜0，
∴x=-，y==，
∴y=ax²+2x+c=a（x+）²+．
当x=x±n时，y=y-n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+）²+
得：y-n²=a（x±n+）²+，
整理得：an²+n²=0，
解得：a=-，
把a=-代入a+c+2=得：c=0，
∴y=-x²+2x；

（2）由抛物线解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，），
∴S_△PAB=×4×=3．
点评：主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，涉及的字母多，运算有一定难度，在确定了抛物线解析式后，可根据图形及相应点的坐标求面积．