Question

如图，梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=2，OB=5，tanB是方程2x²+7x-4=0的一个根，以O为坐标原点，OB、OA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系：
（1）求经过O、C、B三点的抛物线的解析式；
（2）延长AC交（1）中的抛物线于点D，求线段CD的长；
（3）若平行于x轴的一条直线交（1）中的抛物线于点M、N，以MN为直径的圆正好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

分析：（1）由题意，易得到A、B的坐标，通过解方程可求出tanB的值；过C作x轴的垂线，设垂足为E，在Rt△BCE中，根据CE（即OA）的长及tanB的值即可求出BE的长，进而可求出点C的坐标；然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于AC∥OB（即x轴），那么C、D的纵坐标相等，根据抛物线的解析式即可求出D点的坐标，进而可得到CD的长；
（3）可根据抛物线的解析式设出M点的坐标，抛物线对称轴方程与M点横坐标差的绝对值即为此圆的半径，由于此圆与x轴相切，那么M点纵坐标的绝对值与此圆的半径相等，由此可得出关于M点横坐标的方程，进而可得到所求圆的半径．

解答：解：（1）由已知得A（0，2），B（5，0）；
解方程2x²+7x-4=0
得：x=-4，x=

1

2

；
∵tanB＞0，
∴tanB=

1

2

；
过点C作CE⊥OB于点E，则CE=AO=2；
∴tanB=

CE

BE

，
∴BE=4；
∴OE=OB-BE=1，
∴C（1，2）；
∵抛物线经过点O（0，0）和点B（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
又∵抛物线经过点C（1，2），
∴a=-

1

2

；
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x（x-5），
即y=-

1

2

x²+

5

2

x；

（2）由题意设D（t，2），其中t≠0；
∵点D在抛物线上，
∴t=4，
∴点D（4，2），CD=3；

（3）抛物线的对称轴：直线x=

5

2

；
设点M（m，-

1

2

m²+

5

2

m），
∴MP=

5

2

-m；
∴

5

2

-m=|-

1

2

m²+

5

2

m|，
∴m=

7± 29

2

或m=

3± 29

2

；
故此圆的半径为

2+ 29

2

．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及的知识点有：一元二次方程的解法、解直角三角形、二次函数解析式的确定以及直线与圆的位置关系等．