Question

如图在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面爬行到面对角线A₁B上的一点P，再沿截面A₁BCD₁爬行到点D₁，则整个过程中蚂蚁爬行的最短路程为（　　）

• A、2
• B、

  2 + 6

  2

• C、2+

  2

• D、

  2+ 2

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,勾股定理,正方形的性质

专题：计算题

分析：画出展开的图形，连接AD₁，则AD₁就是整个过程中蚂蚁爬行的最短路程，过D₁作D₁E⊥AA₁于E，求出EA₁=D₁E，设EA₁=D₁E=x，由勾股定理求出x，求出AE和ED₁，在Rt△EAD₁中，由勾股定理求出AD₁即可．

解答：解：展开如图：
连接AD₁，则AD₁就是整个过程中蚂蚁爬行的最短路程，
过D₁作D₁E⊥AA₁于E，
则∠EA₁D₁=180°-90°-45°=45°=∠ED₁A₁，
即EA₁=D₁E，
设EA₁=D₁E=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
x=

2

2

，
即AE=1+

2

2

，ED₁=

2

2

，
在Rt△EAD₁中，由勾股定理得：AD₁=

(1+ 2 2 )2+( 2 2 )2

=

2+ 2

，
故选D．

点评：本题考查了勾股定理、平面展开最短路线问题，正方形的性质，关键是能根据题意得出求出那条线的长，题目比较好，有一定的难度．