Question

在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a≤b．取AD的中点P，连接PB、PC．
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD？若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：根据已知条件，得到四边形ABCD为直角梯形或矩形．
（1）过点P作PQ⊥BC，易证PQ=BQ=QC，则△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．
（2）判断在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性质与判定得出即可．
解答：解：（1）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥DC．
又∵AB=a，DC=b，且a≤b，
∴四边形ABCD为直角梯形（或矩形）．
过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，
∴PQ∥AB，
又∵点P是AD的中点，
∴点Q是BC的中点，
又∵PQ=（AB+CD）=（a+b）=BC，
∴PQ=BQ=QC．
∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形．
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°，PB=PC，
即△PBC是等腰直角三角形．

（2）存在点M，使AM⊥MD．
理由是∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
当=时，△ABM∽△MCD，
∴∠BAM=∠DMC，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠AMB+∠DMC=180°-90°=90°，
∴∠AMD=90°，
此时AM⊥DM，
代入得：=，
整理得出：BM²-（a+b）BM+ab=0，
（BM-a）（BM-b）=0，
∴BM=b或BM=a，
综合上述：在线段BC上，存在点M，使AM⊥MD，BM的长是a或b．
点评：根据BC=a+b，联想到梯形的中位线定理，得到过点P作PQ⊥BC这条辅助线是解决本题的关键．
并且本题把判断M点是否存在的问题转化成了探讨圆与直线的交点的问题．