Question

19．如图，已知等边△ABC，P为AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM，求证：
（1）BP=CE；
（2）∠EMP=60°．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质推出AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，证出△EAC≌△PAB即可；
（2）求出∠PME=∠EAC=60°，推出A、M、P、E四点共圆，根推出∠EMP=∠EAP=60°即可．

解答 证明：（1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAC=∠PAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP=CE；

（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEC=∠APB，
∵∠ECA=∠PCM，∠AEC+∠EAC+∠ECA=180°，∠APB+∠PCM+∠PMC=180°，
∴∠PME=∠EAC=60°，
∴A、M、P、E四点共圆，
∴∠EMP=∠EAP=60°．

点评 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．