Question

（2005•闸北区一模）如图，点G是等边△ABC的重心，过点G作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E，点M在BC边上．如果以点B、D、M为顶点的三角形与以点C、E、M为顶点的三角形相似（但不全等），那么S_△BDM：S_△CEM=

（7+3

5

）：2或（7-3

5

）：2

．

Answer 1

分析：首先由点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，即可得AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

BD

AB

=

EC

AC

=

1

3

，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：∵点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

BD

AB

=

EC

AC

=

1

3

，
∴BD=

1

3

BC，EC=

1

3

BC，
当△BDM∽△CME时，则

BD

CM

=

BM

EC

，
设BD=a，CM=x，则CE=a，BC=3a，BM=3a-x，
∴

a

x

=

3a-x

a

，
解得：x=

3± 5

2

a，
∴当BM=

3+ 5

2

a时，CM=

3- 5

2

a，则S_△BDM：S_△CEM=BM：CM=

7+3 5

2

；
当BM=

3- 5

2

a时，CM=

3+ 5

2

a，则S_△BDM：S_△CEM=

7-3 5

2

．
故答案为：（7+3

5

）：2或（7-3

5

）：2．

点评：此题考查了等边三角形的性质，三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．