Question

18、已知：如图（1），AC是?ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．
探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有

MP=NQ

（只写一组）；
（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有

MP=NQ

（只写一组）．
请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．

Answer 1

分析：根据平行四边形的性质以及平移的性质易发现两个平行四边形ACQM和ACNP，从而证明AC=MQ，QC=NP，则MQ=NP，MP=NQ．

解答：解：探究（1）：如图（2），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．
探究（2）：如图（3），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．
选择探究（1）：如图（2），证明MP=NQ．
理由：
如图（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；
又MN∥AC，
∵四边形ACNP是平行四边形，
∴NP=AC．
同理可证MQ=AC，
∴NP=MQ
∴PQ+QN=MP+PQ，
∴MP=NQ．

点评：能够结合平行四边形的性质和平移的性质发现两个平行四边形，再根据平行四边形的对边相等进行证明．