Question

13．如图，AB是⊙O的直值，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．
（1）试判断线段DF和CE的数量关系，并说明理由．
（2）若AB=10，AE=3，BF=5，求EF和EC的长．

Answer 1

分析 （1）过O作OQ⊥EF于Q，求出BF∥OQ∥AE，求出QF=QE，根据垂径定理求出DQ=CQ，即可得出答案；
（2）过A作AM∥EF交BF于M，交OQ于N，连接OD，求出BM=5-3=2，由勾股定理求出EF=AM=4$\sqrt{6}$，即可求出AN=QE=FQ=2$\sqrt{6}$，由勾股定理求出ON=1，求出OQ，根据勾股定理求出DQ，即可求出答案．

解答 解：（1）DF=CE，
理由是：如图1，过O作OQ⊥EF于Q，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴BF∥OQ∥AE，
∵BO=AO，
∴QF=QE，
∵OQ⊥DC，OQ过O，
∴DQ=CQ，
∴QF-DQ=QE-CQ，
∴DF=CE；

（2）解：如图2，过A作AM∥EF交BF于M，交OQ于N，连接OD，
∵AB=10，AE=3，BF=5，
∴BM=5-3=2，
由勾股定理得：EF=AM=$\sqrt{1{0}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{6}$，
∴AN=QE=FQ=2$\sqrt{6}$，
在Rt△AON中，ON=$\sqrt{O{A}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=1，
∴OQ=3+1=4，
在Rt△OQD中，由勾股定理得：DQ=$\sqrt{O{D}^{2}-O{Q}^{2}}$=3，
∴EC=DF=QF-DQ=2$\sqrt{6}$-3．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，梯形中位线定理的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．