Question

设四位数

.

abcd

是一个完全平方数，且

.

ab

=2

.

cd

+1，则这个四位数为

5929

．

Answer 1

分析：根据四位数

.

abcd

是一个完全平方数得出这个数的取值范围，进而得出67（3x）=（m+10）（m-10），从而分析得出m+10，m-10中至少有一个是67的倍数，求出即可．

解答：解：设数

.

abcd

=m²，则32≤m≤99，又设

.

cd

=x，则

.

ab

=2x+1，
于是100（2x+1）+x=m²，即201x=m²-100，
即67（3x）=（m+10）（m-10），
∵67是质数m，
∴m+10，m-10中至少有一个是67的倍数，
若m+10=67k（k是正整数），
∵32≤m≤99，
∴m+10=67，
∴m=57，
检验知57²=3249，不合题意舍去，
若m-10=67K（k是正整数），则m-10=67，
∴m=77，
∴

.

abcd

=77²=5929．
故答案为：5929．

点评：此题主要考查了完全平方数的性质，根据已知的出67（3x）=（m+10）（m-10）是解决问题的关键．