Question

【题目】如图，在矩形OABC中，点A在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴．抛物线y= x2﹣ x+4经过点B，C，连接OB，D是OB上的动点，过D作DE∥OA交抛物线于点E（在对称轴右侧），过E作EF⊥OB于F，以ED，EF为邻边构造DEFG，则DEFG周长的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：当x=0时，y= x2﹣ x+4=4， ∴点C（0，4）；
∵y= x2﹣ x+4=4 ，
∴抛物线的对称轴为x= ，
∵四边形OABC为矩形，
∴B（3，4）．
设直线OB的解析式为y=kx，
将B（3，4）代入y=kx中，
4=3k，解得：k= ，
∴直线OB的解析式为y= x．
在Rt△OAB中，OA=3，AB=4，
∴OB= =5．
∵DE∥OA，
∴∠BOA=∠EDF，
∵EF⊥OB，
∴
∴EF= DE，
∴DEFG周长=2（EF+DE）= DE．
设点D的坐标为（ m，m），则点E的坐标为（ + ，m），
∴DE= + ﹣ m=﹣ （m﹣ ）+ =﹣ + ，
∴当m= 时，DE取最大值 ，此时DEFG周长取最大值 ．
所以答案是 ．
【考点精析】掌握二次函数的性质和二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．