Question

2．等边三角形ABC，BD=CE，FA=FE，∠DGH=60°，BG＞AG，求证：GF=HF．

Answer 1

分析 AB上截取AG′=CE=BD，过E作EH′∥AB交AC于H′，由△ABC是等边三角形，得到△ECH′是等边三角形，推出四边形AG′EH′为平行四边形，得到点F与F′重合，∵根据全等三角形的性质得到G′D=DH′=G′H′，推出△G′DH′为等边三角形，得到∠DG′H′=∠DG′F=60°，证得G与G′重合，同理H′与H重合，于是得到结论．

解答 证明：在AB上截取AG′=CE=BD，过E作EH′∥AB交AC于H′，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ECH′是等边三角形，
∴EC=EH′=H′C，
连接G′H′，G′E，EH′，其中G′H′与AE交于F′，
∵AG′∥EH′，AG′=EH′，∴四
边形AG′EH′为平行四边形，
∴AF′=EF′，G′F′=F′H′，
∵AF=EF，
∴点F与F′重合，
∵AG′=CH′=EC=BD，
∴BG′=AH′=CD，
在△AG′H′与△CH′D与△BDG′中，$\left\{\begin{array}{l}{BG′=AH′=CD}\\{∠G′AH′=∠H′CD=∠DBG′=60°}\\{BD=AG′=CH′}\end{array}\right.$，
∴△AG′H′≌△CH′D≌△BDG′，
∴G′D=DH′=G′H′，
∴△G′DH′为等边三角形，
∴∠DG′H′=∠DG′F=60°，
而在线段AB上找一点G′，使∠DG′F=60°只有两处，
即AG′＞BG′，AG′＜BG′，
∵BD=CE=AG′，
∴BE=BG′＞EC，
即BG′＞AG′，
∵BG＞AG，∠DGF=60°，
∴G与G′重合，
同理H′与H重合，
∴GH=HF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．