Question

如图，矩形OABC的两边OA和OC所在直线分别为l₁、l₂，l₁和l₂的交点为O，OA=3，AB=4．将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在射线OC上，旋转后的矩形为AO₁B₁C₁，BC、A₁B₁相交于点M．
（1）求tan∠OB₁A₁的值；
（2）将图1中的矩形OA₁B₁C₁沿射线OC向上平移，如图2，矩形PA₂B₂C₂是平移过程中的某一位置，BC、A₂B₂相交于点M₁，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，CM₁=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如图3，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA₃B₃C₃．请你思考如何通过使用最少图形变换次数使矩形PA₃B₃C₃与原矩形OABC重合，请简述你的做法．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的正切值的求算方法可直接利用线段的比求出tan∠OB₁A₁=

OA1

OB1

=

3

4

；
（2）用含x的代数式表示出B₂C=1+x，根据第一问的三角函数可求得

CM1

B2C

=

3

4

，则y=

3

4

x+

3

4

，0≤x≤

11

5

；
（3）通过旋转和平移可得到．

解答：解：（1）tan∠OB₁A₁=

OA1

OB1

=

3

4

；

（2）B₁C=1，B₂C=1+x，
∵tan∠OB₁A₁=

OA1

OB1

=

CM1

B2C

=

3

4

，
∴y=

3

4

x+

3

4

，0≤x≤

11

5

．

（3）将矩形PA₃B₃C₃绕点C顺时针旋转∠A₃CB，再向下平移4得到原矩形OABC．

点评：本题考查旋转、平移的性质，并涉及到矩形的性质和一次函数的综合性题目．要掌握它们的性质才能灵活的运用，本题渗透了数形结合的思想．