Question

如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A，过点C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=

4

5

，则AC的长为（　　）

• A．8

  5

• B．8

  3

• C．10
• D．8

  2

Answer 1

分析：连结OC，在Rt△DCE中利用cosD=

DE

DC

=

4

5

，可设DE=4x，则DC=5x，于是CE=3x=8，解得x=

8

3

得到DE=

32

3

，DC=

40

3

，根据圆周角定理AB为直径得到∠ACB=90°，利用∠A=∠BCD可得到∠OCD=90°，在Rt△OCD中，根据cosD=

CD

OD

=

4

5

=

40 3

OD

，解得OD=

50

3

，则OE=OD-DE=6，接着根据勾股定理计算出OC，然后再次利用勾股定理计算AC．

解答：解：连结OC，如图，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CED=90°，
∴cosD=

DE

DC

=

4

5

，
设DE=4x，则DC=5x，
∴CE=3x=8，解得x=

8

3

，
∴DE=

32

3

，DC=

40

3

，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BCD，
而∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cosD=

CD

OD

=

4

5

=

40 3

OD

，解得OD=

50

3

，
∴OE=OD-DE=

50

3

-

32

3

=6，
在Rt△OCE中，OC=

OE2+CE2

=10，
∴OA=10，
∴AE=10+6=16，
在Rt△ACE中，AC=

AE2+CE2

=

162+82

=8

5

．
故选A．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了圆周角定理和解直角三角形．