Question

8．已知x、y、z、a、b、c均为实数，且x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by（其中abcxyz≠0），则$\frac{1-a}{1+a}$+$\frac{1-b}{1+b}$+$\frac{1-c}{1+c}$=1．

Answer 1

分析 将三式相加结合abcxyz≠0即可得出x+y+z=2ax+2by+2cz≠0，由②+③-①、①+③-②、①+②-③即可得出a=$\frac{y+z-x}{2x}$、b=$\frac{x+z-y}{2y}$、c=$\frac{x+y-z}{2z}$，将其分别代入$\frac{1-a}{1+a}$、$\frac{1-b}{1+b}$、$\frac{1-c}{1+c}$中求出结果，再代入$\frac{1-a}{1+a}$+$\frac{1-b}{1+b}$+$\frac{1-c}{1+c}$中即可得出结论．

解答 解：∵abcxyz≠0，
∴x+y+z=2ax+2by+2cz≠0．
令x=by+cz①，y=cz+ax②，z=ax+by③，
由②+③-①，得y+z-x=2ax，
∴a=$\frac{y+z-x}{2x}$，
∴$\frac{1-a}{1+a}$=$\frac{1-\frac{y+z-x}{2x}}{1+\frac{y+z-x}{2x}}$=$\frac{3x-y-z}{x+y+x}$．
同理可得：b=$\frac{x+z-y}{2y}$，c=$\frac{x+y-z}{2z}$，
∴$\frac{1-b}{1+b}$=$\frac{3y-x-z}{x+y+z}$，$\frac{1-c}{1+c}$=$\frac{3z-x-y}{x+y+z}$，
∴$\frac{1-a}{1+a}$+$\frac{1-b}{1+b}$+$\frac{1-c}{1+c}$，
=$\frac{3x-y-z}{x+y+x}$+$\frac{3y-x-z}{x+y+z}$+$\frac{3z-x-y}{x+y+z}$，
=$\frac{3x-y-z+3y-x-z+3z-x-y}{x+y+z}$，
=$\frac{x+y+z}{x+y+x}$，
=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是用三个等式中的两个相加减去第三个表示出a、b、c的值．本题属于基础题，结合给定条件表述出x+y+z≠0（即分母不为0）是易失分点．