Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，EG⊥BC于G，L是AF的中点，求证：CD²=EG•DL．

Answer 1

分析 连接DE，EL，由AB=AC，AD⊥BC，得到BD=DC，根据直角三角形的性质得到DE=BD=CD，于是得到∠EDG=∠DBE+∠DEB=2∠DBE，同理∠DLE=∠LAE+∠LEA=2∠LAE，由已知条件得到∠DBE=∠LAE，证得∠EDG=∠DLE，推出AD∥EG，∠1=∠2，得到△EGD∽△DEL，于是得到比例式，即可得到结论．

解答 证明：连接DE，EL，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵BE⊥AC，
∴DE=BD=CD，
∴∠EDG=∠DBE+∠DEB=2∠DBE，
同理∠DLE=∠LAE+∠LEA=2∠LAE，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DBE+∠C=90°，∠LAE+∠C=90°，
∴∠DBE=∠LAE，
∴∠EDG=∠DLE，
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，∠1=∠2，
∴△EGD∽△DEL，
∴$\frac{EG}{DE}=\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{EG}{CD}=\frac{CD}{DL}$，
∴CD²=EG•DL．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．