【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是弧BE中点,AE⊥CD于点D,延长DC,AB交于点F,已知AD=4,FC=FB.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)求线段FC的长.
【答案】(1)见解析;(2)FC=6.
【解析】
(1)连接OC,由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠DAC=∠OCA,于是可判断OC∥AD,由于AD⊥CD,则OC⊥CD,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)有了FC=FB,设BF=x,则CF=x,根据切割线定理得到,设OA=OB=OC=r,求得BF=2r,根据相似三角形的性质得到BF=6,于是得到结论.
(1)证明:连接OC.
∵C是的中点,
∴AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴DA∥OC,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=90°,
∴∠OCD=90°,
即OC⊥DC,
∵OC为半径,
∴DC为⊙O的切线;
(2)∵FC=FB,
∴设BF=x,则CF=x,
∵CD是⊙O的切线,
∴CF2=BFAF,
设OA=OC=OB=r,
∴2x2=x(x+2r),
∴x=2r,
∴BF=2r,
∵OC∥AD,
∴△OCF∽△ADF,
∴,
∴ ,
∴r=3,
∴BF=6,
∴FC=FB=6.
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【题目】已知二次函数图象的一部分如图所示,给出以下结论:;当时,函数有最大值;方程的解是,;,其中结论错误的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】(本题满分8分,每小题4分)
袋子中装有2个红球,1个黄球,它们除颜色外其余都相同。小明和小英做摸球游戏,约定一次游戏规则是:小英先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回,小明再从袋中摸出1个球记下颜色后放回,如果两人摸到的球的颜色相同,小英赢,否则小明赢.
(1)请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果;
(2)这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)证明:直线PD是⊙O的切线;
(2)如果∠BED=60°,PD=,求PA的长;
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.
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【题目】如图,四边形纸片ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=CD=6, ∠C=60°.点E是边AD上一点,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△HBE .
(1)当点B、D、H三点在一直线上时,求线段AE的长;
(2)当点A的对称点H正好落在DC上时,有动点P从点H出发沿线段HB向点B运动,同时动点Q从点B出发沿线段BA向点A运动,速度均为每秒1个单位长度,连接PQ交折痕BE于点M.设运动时间为t秒.
① 探究:当时间t为何值时,△PBM为等腰三角形;
② 连接AM,请直接写出BM+2AM的最小值是 .
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【题目】如图,Rt△ABC的两条直角边AB=4cm,AC=3cm,点D沿AB从A向B运动,速度是1cm/秒,同时,点E沿BC从B向C运动,速度为2cm/秒. 动点E到达点C时运动终止.连结DE、CD、AE.(1)填空:当动点运动_______ 秒时,△BDE与△ABC相似?
(2)设动点运动t秒时△ADE的面积为s,求s与t的函数解析式;
(3)在运动过程中是否存在某一时刻t,使CD⊥DE?若存在,求出时刻t;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),C (4,0)两点,与y轴交于点B.
(1)求这条抛物线的顶点坐标;
(2)已知AD=AB(点D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t(s)的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校组织七年级学生参加冬令营活动,本次冬令营活动分为甲、乙、丙三组进行.如图,条形统计图和扇形统计图反映了学生参加冬令营活动的报名情况,请你根据图中的信息回答下列问题:
(1)七年级报名参加本次活动的总人数为 ,扇形统计图中,表示甲组部分的扇形的圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)根据实际需要,将从甲组抽调部分学生到丙组,使丙组人数是甲组人数的3倍,则应从甲组抽调多少名学生到丙组?
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