Question

在△CDE中，∠C=90°，CD，CE的长分别为m，n，且DE·cosD=cotE。
（1）求证：m² =n；
（2）若m=2，抛物线y=a（x-m）²+n与直线y=3x+4交于A（x₁，y₁）和 B （x₂， y₂）两点，且△AOB的面积为6（O为坐标原点），求a的值；
（3）若是k²=，c+l-b=0，抛物线y=k（x²+bx+c）与x轴只有一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）由DE·cosD=cotE，有DE·，
∴CD²=CE，
∴m²=n；
 （2）解，得ax²-（4a+3）x+4a=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=4，
∴|x₁-x₂|===
∴|AB|=，
又直线y=3x+4与y轴交于M（0，4），与x轴交于N，
设OH=h垂直于MN，则h=，
∵
∴a=3或a=；
 （3）∵k²=，c+l-b=0，
∴k²=，c+1-b=0，c=b-1，
抛物线y=k（x²+bx+c）可化为y=x²+bx+b-1，
∵抛物线与x轴只有一个交点，在原点的右侧，
∴△=b²-4（b-1）=b²-4b-4=0，即b-1=＞0，
令x=0，则y=b-1=＞0，
故抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴。