Question

2．已知抛物线y=ax²+bx-2与x轴相交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）且（x₁＜x₂），且x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求a，b的值；
（2）分别求出直线AC和BC的解析式；
（3）若直线y=m（-2＜m＜0）与线段AC、BC分别相交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-x-6=0得出x₁、x₂的值，由此即得出点A、B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出a、b的值；
（2）由抛物线的解析式可得出点C的坐标，由此可设直线AC的解析式为y=k₁x-2，直线BC的解析式为y=k₂x-2，结合A、B点的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（3）结合（2）结论，由直线相交求出点D、E点的坐标，假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为（n，0），由两点间的距离公式求出线段DE、PD、PE的长，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，再通过解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个实数根，且x₁＜x₂，
∴x₁=-2，x₂=3，
即点A（-2，0）、点B（3，0），
将点A（-2，0）、点B（3，0）代入到抛物线y=ax²+bx-2中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b-2}\\{0=9a+3b-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
（2）令抛物线y=ax²+bx-2中x=0，则y=-2，
即点C的坐标为（0，-2）．
设直线AC的解析式为y=k₁x-2，直线BC的解析式为y=k₂x-2，
将点A（-2，0）代入y=k₁x-2中得：0=-2k₁-2，
解得：k₁=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x-2；
将点B（3，0）代入y=k₂x-2中得：0=3k₂-2，
解得：k₂=$\frac{2}{3}$．
∴直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2．
（3）假设存在，设点P的坐标为（n，0）．
令y=-x-2中y=m，则有m=-x-2，
解得：x=-m-2，
即点D的坐标为（-m-2，m）；
令y=$\frac{2}{3}$x-2中y=m，则有m=$\frac{2}{3}$x-2，
解得：x=$\frac{3}{2}$m+3，
即点E的坐标为（$\frac{3}{2}$m+3，m）．
由两点间距离公式可知：
DE=$\frac{3}{2}$m+3-（-m-2）=$\frac{5}{2}$m+5，PD=$\sqrt{[n-（-m-2）]^{2}+（0-m）^{2}}$，PE=$\sqrt{[n-（\frac{3}{2}m+3）]^{2}+（0-m）^{2}}$．
△DEP为等腰三角形分三种情况：
①PD=PE，即$\sqrt{[n-（-m-2）]^{2}+（0-m）^{2}}$=$\sqrt{[n-（\frac{3}{2}m+3）]^{2}+（0-m）^{2}}$，
解得：n=$\frac{m}{6}$+$\frac{1}{2}$；
②DE=PD，即$\frac{5}{2}$m+5=$\sqrt{[n-（-m-2）]^{2}+（0-m）^{2}}$，
解得：n₁=-m-2-$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，n₂=m-2+$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，
此时$\frac{21}{4}{m}^{2}$+25m+25≥0，解得：m≥-$\frac{10}{7}$．
故当-2＜m＜-$\frac{10}{7}$时，方程无解；
当-$\frac{10}{7}$≤m＜0时，方程的解为：n₁=-m-2-$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，n₂=m-2+$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$；
③DE=PE，即$\frac{5}{2}$m+5=$\sqrt{[n-（\frac{3}{2}m+3）]^{2}+（0-m）^{2}}$，
解得：n₃=$\frac{3}{2}$m+3-$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，n₄=$\frac{3}{2}$m+3+$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，
此时$\frac{21}{4}{m}^{2}$+25m+25≥0，解得：m≥-$\frac{10}{7}$．
故当-2＜m＜-$\frac{10}{7}$时，方程无解；
当-$\frac{10}{7}$≤m＜0时，方程的解为：n₃=$\frac{3}{2}$m+3-$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，n₄=$\frac{3}{2}$m+3+$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$．
综上可知：存在这样的点P，当-2＜m＜-$\frac{10}{7}$时，使得△DEP为等腰三角形的点P的坐标为（$\frac{m}{6}$+$\frac{1}{2}$，0）；
当-$\frac{10}{7}$≤m＜0时，使得△DEP为等腰三角形的点P的坐标为（$\frac{m}{6}$+$\frac{1}{2}$，0）、（-m-2-$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，0）、（-m-2+$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，0）、
（$\frac{3}{2}$m+3-$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，0）或（$\frac{3}{2}$m+3+$\sqrt{\frac{21}{4}{m}^{2}+25m+25}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解无理方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）分情况讨论．本题属于中档题，（1）（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；（3）难度不大，但较繁琐，解决过程中还要考虑方程何时有解，此处是该题的失分点，解决该小问时，尤其要细心计算，综合考虑．