有两张完全重合的矩形纸片.小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF.连接BD.MF.若此时他测得∠ADB=30°．(1)试探究线段BD与线段MF的关系.并简要说明理由,(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去.与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1.AD1交FM于点K.设旋转角为β.当△AFK为等腰三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得∠ADB=30°．

（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数．

分析：（1）①由旋转的性质可以证明△BAD≌△MAF，由全等三角形的对应边相等可以推知线段BD与MF的数量关系BD=MF．②BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）由条件可知∠AFK=30°，当∠AFK为顶角时，可以求出∠KAF=75°，从而求出旋转角β的度数，当∠AFK为底角时，可以求出∠KAF=30°，从而求出旋转角β的度数．

解答：

解：（1）BD=MF，且BD⊥MF．理由如下：
如图1，延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．

（2）如图2，根据旋转的性质知，∠AFK=∠ADB=30°．
当AK=FK时，∠KAF=∠AFK=30°，

则∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK=

180°-∠AFK

=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
故β的度数为60°或15°．

点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．

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（1）请直接写出AF的长；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．