Question

（2003•随州）已知：如图，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，对角线BD交y轴于点E，AB=，AD=2，AE=．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S_△PBD=S_?ABCD？若存在，请求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠ADE=∠EBO，可根据∠ADE的正切值求出BO，OE的比例关系，然后在直角三角形AOB中，用勾股定理即可求出OB，OE的长，也就得出了B点的坐标．
（2）由（1）可求出OA的长，也就得出了A，D的坐标，然后根据A、B、D三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先在x轴上找出一点F（在C点右侧）使得S_△FBD=S_?ABCD，那么可得出F点的坐标为（3，0），如果过F点坐标BD的平行线，那么平行线上的点与BD组成的三角形的面积就都与平行四边形ABCD的面积相等（这些三角形都以BD为底边，以平行线间的距离为高）．那么P点必为此直线与抛物线的交点，可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线的解析式来求出P点的坐标．（在y轴两侧各有一个类似F的点，如图）．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BO，
∴△BOE∽△DAE
∴=，
即=
∴BO=3EO
在直角三角形ABO中，由AB²=BO²+AO²，
即（）²=BO²+（+BO）²．
整理得5BO²+2BO-7=0，
解得BO=1（负值舍去），
∴B（-1，0）．

（2）由（1）知：EO=BO=，
∴AO=+=1．
∴A（0，1），D（2，1）
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B、D三点的坐标代入，
得：，
解得，
y=-x²+x+1．

（3）①过F（3，0）作FK∥BD交AD延长线于K，可得K（6，1）．
则FK上任一点与BD组成的三角形的面积等于S_?ABCD，
可求得直线FK的解析式为y=x-1．
解，
得：；
．
②过点F′（-2，1）作F′K′∥BD交x轴于K′，可的K′（-5，0）．
同样F′K′上的任一点与BD组成的三角形面积等于S_?ABCD．
可求得直线F′K′的解析式为y=x+．
解知该方程组无解．
综上所述，满足条件的P点的坐标为（-2，-）或（3，0）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、图形面积的求法、平行四边形的性质等知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．