Question

整数x，x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₃满足条件：x=0，|x₁|=|x+1|，|x₂|=|x₁+1|，|x₃|=|x₂+1|，…，|x₂₀₀₃|=|x₂₀₀₂+1|．
（1）试用仅含x₂₀₀₃的代数式表示|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|，
（2）求|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将各等式进行平方运算，可去掉绝对值，表示出x₂₀₀₃²，然后进行化简运算即可得出答案．
（2）根据已知得出当x=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43时，等号成立进而求出即可．
解答：解：（1）由已知得：

于是x₂₀₀₃²=x²+2（x+x₁+x₂+x₂₀₀₂）+2003，
又∵x=0，
∴2（x₁+x₂+x₂₀₀₃）=x₂₀₀₃²+2x₂₀₀₃-2003=（x₂₀₀₃+1）²-2004，
即|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|=|（x₂₀₀₃+1）²-2004|．

（2）由于x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃为整数，则x₂₀₀₃+1是偶数，
比较|44²-2004|与|46²-2004|的大小，可得：
|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|≥|44²-2004|=34．
当x=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43时，等号成立．
所以|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值为34．
点评：此题考查了含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力．