Question

【题目】用两个全等的等边△ＡＢＣ和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

(1)如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论。

(2)如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在（1）中的结论还成立吗？请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）BE=CF;（2）结论仍成立

【解析】试题分析：（1）利用公共角和菱形的性质得到边和角相等，利用ASA证明△ABE△ACF,BE=CF. (2) 根据（1）的证明方法，证明△ACE和△ADF全等, BE=CF.

试题解析：

解：（1）BE=CF,
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF,
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE△ACF（ASA）．
∴BE=CF,
（2）BE=CF仍然成立．
证明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，

∴∠ACE=120°，

∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，
,
∴△ACE△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF.