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如图,半径为1的⊙O1与x轴交于A、B两点,圆心O1的坐标为(2,0),二次函数y精英家教网=-x2+bx+c的图象经过A、B两点,其顶点为F.
(1)求b,c的值及二次函数顶点F的坐标;
(2)将二次函数y=-x2+bx+c的图象先向下平移1个单位,再向左平移2个单位,设平移后图象的顶点为C,在经过点B和点D(0,-3)的直线l上是否存在一点P,使△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)已知圆心O1的坐标为(2,0),半径为1,可知A(1,0),B(3,0),将两点坐标代入抛物线解析式可求b、c的值,将抛物线解析式写成顶点式,可求顶点F坐标;
(2)由(1)可知抛物线顶点坐标为(2,1),平移后顶点坐标为C(0,0),易求直线l的解析式为y=x-3,根据直线l的特殊性,可求点A关于直线l的对称点A1的坐标,再求直线CA1的解析式,将直线CA1的解析式与直线l的解析式联立,解方程组可求P点坐标.
解答:解:(1)由题意得,A(1,0),B(3,0),
则有
-1+b+c=0 
-9+3b+c=0 .

解得
b=4 
c=-3 .
(2分)
∴二次函数的解析式为y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1.
∴顶点F的坐标为(2,1).(3分)

(2)将y=-(x-2)2+1平移后的抛物线解析式为y=-x2,其顶点为C(0,0).(4分)
∵直线l经过点B(3,0)和点D(0,-3),
∴直线l的解析式为y=x-3.(5分)精英家教网
作点A关于直线l的对称点A1,连接BA1、CA1
∴AA1⊥直线l,
设垂足为E,则有A1E=AE,
由题意可知,∠ABE=45°,AB=2,
∴∠EBA1=45°,A1B=AB=2.
∴∠CBA1=90°.
过点A1作CD的垂线,垂足为F,
∴四边形CFA1B为矩形.
∴FA1=OB=3.
∴A1(3,-2).(6分)
∴直线CA1的解析式为y=-
2
3
x
.(7分)
y=-
2
3
x
y=x-3.
的解为
x=
9
5
y=-
6
5
.

∴直线CA1与直线l的交点为点P(
9
5
,-
6
5
).
点评:本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法,平移,点的对称点坐标的确定,以及直线解析式的确定方法,求直线交点坐标的问题.
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