分析 (1)根据两条相交直线把平面分成四部分,在每一个部分内都存在一个满足要求的距离坐标解答;
(2)过M作MN⊥AB于N,根据已知得出OM=n,MN=m,求出∠NOM=30°,根据锐角三角函数得出cos30°=$\frac{ON}{OM}=\frac{p}{q}$,求出即可;
(3)分别作点M关于OA、OB的对称点E、F,连接EF、OE、OF、EM、FM,根据直角三角形的性质解答即可.
解答 解:(1)“距离坐标”为(1,0)点有2个;
故答案为:2;
(2)过M作MN⊥AB于N,如图2:
∵直线l⊥CD于O,∠BOD=120°,
∴∠MON=30°.
∵ON=p,OM=q,
∴$p=\frac{\sqrt{3}}{2}q$;
(3)分别作点M关于OA、OB的对称点E、F,连接EF、OE、OF、EM、FM,如图3:
∴△OEC≌△OMC,△OFD≌△OMD.
∴∠AOM=∠AOE,∠BOM=∠BOF,OM=OE=OF,
∴∠EOF=60°,
∴OM=OE=OF=EF,
∵MD=1,MC=$\sqrt{3}$,
∴MF=2,ME=$2\sqrt{3}$,
∵∠AOB=30°,
∴∠CMD=150°,
过F做FG⊥CM,交CM延长线于G,如图2:
∴∠FMG=30°.
在Rt△FMG中,FG=1,MG=$\sqrt{3}$,
在Rt△EFG中,FG=1,EG=$3\sqrt{3}$,
∴EF=$\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+1}=2\sqrt{7}$,
∴OM=$2\sqrt{7}$.
点评 本题考查了几何变换问题,关键是根据锐角三角函数值,含30度角的直角三角形的应用,主要考查学生的动手操作能力和计算能力,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.
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