Question

如图，在△ABC中，AD，BE，CF是三条高，交点为H，延长AH交外接圆于点M，
（1）求证：∠FHB=∠BAC；
（2）试猜想线段DH与线段DM之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先根据BE，CF是△ABC的高得到∠AEB=∠CFB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠FHB=∠BAC；
（2）连结BM，由AD，BE是△ABC的高得到∠BEC=90°，∠BDA=90°，根据等角的余角相等得到∠CBE=∠CAM，根据圆周角定理得∠CAM=∠CBM，则∠CBM=∠CBE，即BD平分∠MBH，加上BD⊥HM，于是可判断△BMH为等腰三角形，所以DH=DM．

解答：（1）证明：∵BE，CF是△ABC的高，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠FBH+∠FHB=90°，
∴∠FHB=∠BAC；
（2）解：DH=DM．理由如下：
连结BM，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠BEC=90°，∠BDA=90°，
∴∠CBE=∠CAM，
∵∠CAM=∠CBM，
∴∠CBM=∠CBE，即BD平分∠MBH，
而BD⊥HM，
∴△BMH为等腰三角形，
∴DH=DM．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．