Question

如图①，有两个形状相同但大小不同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点，如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点p从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移，设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，（不考虑点P与G、F重合的情况）
（1）当x为何值时，OP∥AC？
（2）你能不能用含x的式子来表示四边形OAHP面积呢？若能，请表示；若不能，请说理由．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．
（2）由四边形AHPO的面积S_△AFH-S_△OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式．△OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．
（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．

解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴

EG

AC

=

FG

BC

，
∴

4

8

=

FG

6

，
∴FG=3cm
∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x=

1 2 FG

1

=

1

2

×3=1.5s
∴当x为1.5s时，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：
EF=

9+16

=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴

EG

AH

=

EF

AF

=

FG

FH

∴AH=

4

5

（x+5），FH=

3

5

（x+5）
过点O作OD⊥FP，垂足为D
∵点O为EF中点
∴OD=

1

2

EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四边形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=

1

2

AH•FH-

1

2

•OD•FP
=

1

2

×

4

5

（x+5）

3

5

（x+5）-

1

2

×2×（3-x）
=

6

25

x²+

17

5

x+3（0＜x＜3）．

（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24
则S_{四边形OAHP}=

13

24

×S_△ABC
∴

6

25

x²+

17

5

x+3=

13

24

×

1

2

×6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=

5

2

，x₂=-

50

3

（舍去）
∵0＜x＜3
∴当x=

5

2

（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，在解答时灵活运用相似三角形的性质和三角形的面积公式求解是关键．