Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，D是AB的中点，点E、F在AB、AC边上运动（点E不与A、C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．有下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③在运动过程中，总有AE²+BF²=EF²成立；
④四边形CEDF的面积随点E的运动而发生变化．
其中正确结论的序号是①③．

Answer 1

分析 ①连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
③由AC=BC，AE=CF，得出CE=BF，进一步由勾股定理得出AE²+BF²=EF²．
④由割补法可知，四边形CEDF的面积保持不变．

解答 解：①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠DCB=∠A}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正确）；
②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）；
③∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=BF，
由勾股定理得：CE²+CF²=EF²．
∴AE²+BF²=EF²．（故③正确）；
④如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故④错误），
故正确的有①③
故答案为：①③．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质以及勾股定理等知识，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．