Question

如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₃BC与∠A₂₀₁₃CD的平分线相交于点A₂₀₁₄，得∠A₂₀₁₄，根据题意填空：
（1）如果∠A=80°，则∠A₁=

 

°，∠A₂=

 

°
（2）如果∠A=α，则∠A₂₀₁₄=

 

．（直接用α代数式）

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，然后整理得到∠A₁=

1

2

∠A，同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁；
（2）根据（1）的计算，后一个角是前一个角的

1

2

，然后写出即可．

解答：解：（1）∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
由三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=∠A₁+∠A₁BC=∠A₁+

1

2

∠ABC，
整理得，∠A₁=

1

2

∠A=

1

2

×80°=40°，
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

×40°=20°；

（2）根据（1）∠A₂₀₁₄=（

1

2

）²⁰¹⁴∠A=

α

22014

．
故答案为：40，20；

α

22014

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的

1

2

是解题的关键．