如图.一直线与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A.B两点.直线与x轴.y轴分别交于C.D两点.过A.B两点分别向x轴.y轴作垂线.H.E.F.I为垂足.连接EF.延长AE.BF相交于点G．(1)矩形OFBI与矩形OHAE的面积之和为2k,,(2)说明线段AC与BD的数量关系,(3)若直线AB的解析式为y=2x+2.且AB=2CD.求反比例函数的解析式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

如图，一直线与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，H、E、F、I为垂足，连接EF，延长AE、BF相交于点G．
（1）矩形OFBI与矩形OHAE的面积之和为2k；（用含k的代数式表示）；
（2）说明线段AC与BD的数量关系；
（3）若直线AB的解析式为y=2x+2，且AB=2CD，求反比例函数的解析式．

分析（1）根据反比例函数的面积不变性进行计算；（2）先根据条件判定△EGF∽△AGB，得出∠GAB=∠GEF，进而判定四边形AEFC和四边形BDEF都是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等得出结论；（3）将B的坐标设为（a，2a+2），根据直角三角形BDI的勾股定理列出方程，求得a的值即可得到B的坐标，进而代入反比例函数求解．

解答解：（1）∵点A、B均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴S_矩形OFBI=S_矩形OHAE=|k|=k，
∴矩形OFBI与矩形OHAE的面积之和为2k．
（2）∵S_矩形OFBI=S_矩形OHAE=k，
∴S_矩形OEGF+S_矩形OHAE=S_矩形OFBI+S_矩形OEGF
即S_矩形AGFH=S_矩形BIEG
∴GA•GF=GE•GB
即$\frac{GE}{GA}=\frac{GF}{GB}$
∵∠EGF=∠AGB
∴△EGF∽△AGB
∴∠GAB=∠GEF
∴EF∥AB
∵CF∥AE，BF∥DE
∴四边形AEFC和四边形BDEF都是平行四边形
∴AC=EF，BD=EF
∴AC=BD
（3）∵直线AB解析式为y=2x+2
∴C（-1，0），D（0，2）
∴CD=$\sqrt{5}$
∵AB=2CD
∴AC+BD=CD
又∵AC=BD
∴BD=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
设B的坐标为（a，2a+2）
在直角三角形BDI中，BI=a，ID=2a+2-2=2a
∴a²+（2a）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²
解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{1}{2}$（舍去）
∴B（$\frac{1}{2}$，3）
将B的坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，得k=$\frac{3}{2}$
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{3}{2x}$

点评本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握反比例函数的面积不变性以及平行四边形的判定方法．解题时注意，反比例函数与一次函数的交点坐标，同时满足两个函数关系式，因此可以将B的坐标设为（a，2a+2），使计算更加简洁方便．

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