Question

15．已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE与点N；
（1）若点P在线段AB上运动，如图1、（不与A、B重合）猜想线段PC、PN 的数量关系并证明．
（2）若点P在线段AD上运动、（不与A、D重合），在图2中画出图形，猜想线段PC、PN 的数量关系并证明
（3）总结：若点P在直线AB上运动、（不与A、B、D重合），线段PC、PN 的数量关系会保持不变吗？（不需要写出证明过程）

Answer 1

分析 （1）在AC上截取AF=AP，可得△PCF≌△PNA，所以PC=PN；
（2）当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC=PN过P作AC的平行线交BC的延长线于F，由平行线的性质可得出∠F=∠BCA=60°，故可得出∠F=∠APF，根据全等三角形的判定定理得出△PCF≌△NPA，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）无论点P在AB上如何移动，都存在△PCF≌△PNA，所以他们的数量关系不变．

解答 解：（1）PC=PN；理由如下：
如图1所示，在AC上截取AF=AP，
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=PA，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，在△PCF和△PNA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠APN}&{\;}\\{PF=PA}&{\;}\\{∠PFC=∠PAN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PNA（ASA），
∴PC=PN；
（2）PC=PN；理由如下：
当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC=PN；
过P作AC的平行线交BC的延长线于F，如图2所示：
∴∠F=∠BCA=60°，∠APF=∠BAC=60°，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠CPN=60°，
∴∠NPF=60°-∠FPC，
∵∠BPC=60°-∠CPF，
∴∠NPF=∠BPC，
∵∠F=∠PAN=60°，
∴∠FCP=∠APN=60°+∠APC，
在△PCF和△NPA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠NAP}&{\;}\\{∠FCP=∠APN}&{\;}\\{CF=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△NPA（AAS），
∴PC=PN；
（3）线段PC、PN的数量关系保持不变；
无论点P在AB上哪个点，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的数量关系不变．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质，能够利用全等三角形求解线段之间的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键．