Question

（2012•金华模拟）如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x²+3x图象的对称轴交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在对称轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由y=-x²+3x可知图象的对称轴为x=-

b

2a

=

3

2

，再把x=

3

2

代入一次函数y=-2x求出y值即B的纵坐标；
（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+3x的对称轴为直线x=

3

2

，
∴当x=

3

2

时，y=-2x=-3，
即B点坐标为（

3

2

，-3）；

（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=

5

a，
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
①当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=

5

2

a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x²+3x，
根据题意得：

x 2+ (-x 2+3x-2a ) 2=( 5 a 2 ) 2 ( 5 a) 2+( 5 a 2 ) 2=(-x 2+3x)2+(x-a) 2

，
解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
则P的坐标是：（

1

2

，

5

4

）
∵点P是二次函数y=-x²+3x图象在对称轴右侧部分上的一个动点，
∴该点舍去，
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
②当∠DCP=90°时，若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（

11

4

，

11

16

），
若DC：PC=OC：OD=1：2，则P（

13

5

，

26

25

），
综上可知：若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为：（2，2）、(

11

4

 ， 

11

16

)、(

13

5

 ， 

26

25

)．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用平行线的解析式之间的关系，相似三角形的判定与性质，分类求解．