Question

5．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
①如果AD=4，BD=9，那么CD=6；
②如果以CD的长为边长作一个正方形，其面积为S₁，以BD，AD的长为邻边长作一个矩形，其面积为S₂，则S₁=S₂（填“＞”、“=”或“＜”）．
（2）基于上述思考，小泽进行了如下探究：
①如图2，点C在线段AB上，正方形FGBC，ACDE和EDMN，其面积比为1：4：4，连接AF，AM，求证AF⊥AM；
②如图3，点C在线段AB上，点D是线段CF的黄金分割点，正方形ACDE和矩形CBGF的面积相等，连接AF交ED于点M，连接BF交ED延长线于点N，当CF=a时，直接写出线段MN的长为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}a$．

Answer 1

分析 （1）①利用互余判断出∠A=∠BCD，得出△ADC∽△CDB，得出比例式即可得出结论；
②利用①的结论和正方形，矩形的面积公式即可得出结论；
（2）①先判断出$\frac{FC}{AC}=\frac{AC}{CM}$．得出△AFC∽△MAC，最后利用互余即可得出结论；
②先利用面积相等得出CD²=BC×CF，再利用黄金分割，求出CD，最后用相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）①∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DB}$，
∴CD²=AD×BD=36，
∴CD=6．
故答案为：6；

②∵以CD的长为边长作一个正方形，其面积为S₁，
∴S₁=CD²，
∵以BD，AD的长为邻边长作一个矩形，
∴S₂=BD×AD，
由①知，CD²=AD×BD，
∴S₁=S₂，
故答案为：=；

（2）①证明：如图2，连接AF，AM．
∵正方形BCFG、ACDE和EDMN的面积比为1：4：4，
∴FC：CD：DM=1：2：2．
设每份为k，则FC=k，CD=2k，DM=2k．
∵四边形BCFG，ACDE是正方形，
∴CD=AC=2k，∠ACF=∠ACM=90°．
∵$\frac{FC}{AC}=\frac{k}{2k}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{AC}{CM}=\frac{AC}{CD+DM}=\frac{2k}{2k+2k}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FC}{AC}=\frac{AC}{CM}$．
∵∠ACF=∠ACM=90°，
∴△AFC∽△MAC． 
∴∠FAC=∠AMC．
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠AMC=90°．
∴∠FAC+∠CAM=90°．
即∠FAM=90°．
∴AF⊥AM．   
②如图③，
∵点D是线段CF的黄金分割点，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴CD=$\frac{2a}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a，
∵正方形ACDE的面积和长方形BCFG面积相等，
∴CD²=BC×CF，
∴BC=$\frac{C{D}^{2}}{CF}$=$\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}{a}^{2}}{a}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，
∴AB=AC+BC=CD+BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a+$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a=a，
∵点C在线段AB上，
∴DE∥AB，
∴△FMN∽△FAB，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{DF}{CF}$，
∴MN=$\frac{DF}{CF}×AB$=$\frac{a-\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a}×a$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，
故答案为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割，直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．