Question

13．已知：抛物线y=-x²+bx+c交y轴于点C（0，3），交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），其对称轴为x=1，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）若⊙P经过A，B，C三点，求圆心P的坐标；
（3）求△BDC的面积S_△DCB；并探究抛物线上是否存在点M，使S_△MCB=S_△DCB？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出b，c再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）根据圆上的点到圆心的距离相等建立方程求解即可；
（3）①先求出点D的坐标，再求出DE最后用面积公式求解即可，
②求平行于直线BC的解析式和抛物线解析式联立方程组求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴$\frac{b}{2}=1$，
∴b=2，
∵抛物线过点C（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0，得，0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴点A（-1，0），B（3，0），
（2）∵⊙P经过A，B，C三点，
∴点P到A，B，C的距离相等，
∴点P一定在直线x=1上，
∴PC²=1+（y-3）²=y²-6y+10，PB²=4+y²=y²+4，
∴y²-6y+10=y²+4，
∴y=1，
∴P（1，1），
（3）①当x=1时，y=4，
∴D（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
设直线BC与对称轴x=1的交点为E（1，2），
∴DE=2，
∴S_△DCB=$\frac{1}{2}$DE×OF+$\frac{1}{2}$DE×FB=$\frac{1}{2}$DE×OB=3，
②存在，
如图，

过点D作直线m∥BC，
∴直线m的解析式为y=-x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M（2，3），
∵DE=EF，
∴过点F作直线n∥BC，
∴直线n解析式为y=-x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．
即：满足条件的M坐标为（2，3）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，函数图象的交点坐标的求法，解本题的关键是确定函数解析式．难点是三角形面积相等的条件的运用．