Question

如下图所示，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上．求证PE是⊙O的切线．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连接OP，BP，∵AB为直径， 　　∴∠APB＝∠BPC＝90°， 　　∵CE＝BE，∴EP＝EB， 　　∴∠EBP＝∠EPB， 　　又BC切⊙O于B，∴∠ABC＝90°， 　　∴∠OBP＋∠EBP＝90°， 　　∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB， 　　∴∠OPB＋∠EPB＝90°，∴OP⊥EP， 　　又OP为⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线． 　　分析：欲证PE是⊙O的切线，可连接OP，只需证OP⊥PE即可，∵AB为直径，故连接BP，可得∠APB＝90°，∴PE＝EB，∠EBP＝∠EPB，又OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，由∠ABC＝90°，可得∠OPE＝90°，即OP⊥PE． 　　小结：(1)证切线，连接圆心与该直线和圆的交点，只要证所作半径与该直线垂直即可．如本例证PE为切线，连接OP，只要证OP⊥PE即可． 　　(2)直径所对的圆周角是直角，如本例AB为直径，则∠APB＝90°． 　　(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如本例∠BPC＝90°，BE＝CE，则PE＝BC＝BE＝CE．