Question

若自然数x＜y＜z，a为整数，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=a，试求x，y，z．

Answer 1

分析：可先设x≥1，y≥2，z≥3，根据

1

x

+

1

y

+

1

z

=a，a为整数，当x=1时进行分析看是否符合；然后令x≥3时，进行分析，看看是否符合题意；最后令x=2，进行分析，看看是否符合题意，从而得到结果．

解答：解：分析由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以
0≤a=

1

1

+

1

2

+

1

3

=1

5

6

又因a是整数，故a=1．若x=1，则1+

1

y

+

1

z

=1，

1

y

+

1

z

=0，与题意不符，所以x≠1．
又x≥3时，a=

1

x

+

1

y

+

1

z

≤

1

3

+

1

4

+

1

5

=

47

60

＜1，也不成立，故x只能为2．
当x=2，

1

y

+

1

z

=1-

1

2

=

1

2

．
令y=3，则z=6．
当x=2，y≥4时，

1

y

+

1

z

=1-

1

2

=

1

2

当x=2，y=4时，

1

y

+

1

z

=

1

4

+

1

5

=

9

20

＜

1

2

，不成立．
故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．
答：x=2，y=3，z=6．

点评：解决本题的关键是将等式转化为不等式，然后进行分类讨论．