Question

12．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（点M与点A、点D不重合）．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当a=2，b=5，求点M运动到什么位置时，∠BMC=90°；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，若另一动点N从点C出发沿边C→M→B运动，且点M、点N的出发时间与运动速度都相同，过点N作AD和垂线交AD于点H，当△MNH与△MBC相似时，求MH的长．

Answer 1

分析 （1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；
（2）根据已知条件得到∠AMB+∠DMC=90°，根据余角的性质得到∠ABM=∠DMC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AM}{CD}=\frac{AB}{DM}$，代入数据即可得到结论．
（3）①当点N在CM上时，由△MNH与△MBC相似，得到∠BMC=∠MHN=90°，当AM=CN=1时，根据相似三角形的性质列方程求得结论；当AM=CN=4时，DM=1，CM=$\sqrt{5}$＜4，这种情况不存在；②当点N在BM上时，当AM=CN=1时，同理这种情况不存在；当AM=CN=4时，即CM+MN=4，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．

（2）解：若∠BMC=90°，
则∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{AB}{DM}$，
设AM=x，则$\frac{x}{2}=\frac{2}{5-x}$，
∴x=1或4，
∴AM=1或4时，∠BMC=90°；

（3）解：①当点N在CM上时，
∵△MNH与△MBC相似，
∴∠BMC=∠MHN=90°，
当AM=CN=1时，
∴DM=4，∴CM=2$\sqrt{5}$，
∴MN=2$\sqrt{5}$-1，
∵NH⊥AD，∠D=90°，
∴NH∥CD，
∴$\frac{MH}{DM}=\frac{MN}{CM}$，
∴$\frac{MH}{4}=\frac{2\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}$，
∴MH=8-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
当AM=CN=4时，
DM=1，CM=$\sqrt{5}$＜4，
∴这种情况不存在；
②当点N在BM上时，
当AM=CN=1时，同理这种情况不存在；
当AM=CN=4时，即CM+MN=4，
∵CM=$\sqrt{5}$，
∴MN=4-$\sqrt{5}$，BM=2$\sqrt{5}$，
∵HN∥AB，
∴△MHN∽ABM，
∴$\frac{MH}{AM}=\frac{MN}{BM}$，即$\frac{MH}{4}=\frac{4-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
∴MH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-2．
综上所述：△MNH与△MBC相似时，MH=8-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-2．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解直角三角形，此题难度较大，解此题的关键是利用相似的性质构造方程求解．