Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数．

Answer 1

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3）、AB=5，
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，

∴，解得．
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q或（4，3）；

（2）设点P翻折后落在线段AB上的点E处，

则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP，
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5，
∴，
∴，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，则，，
∴EF=PH，
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，
从而∠PQE=90°，
∴∠AQP=∠AQE=45°．
分析：（1）分∠BAQ=90°和∠BQA=90°两种情况讨论，前者利用△AOB∽△BAQ，得出BQ=，后者可根据等腰直角三角形的性质得到BQ=OA=4，从而求出Q点的坐标；
（2）点E作EF⊥BQ，垂足为点E，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，根据翻折不变性及BQ∥OP，得到△EQF≌△PHQ，从而得到∠EQF=∠PQH，又因为∠PQE=90°故∠AQP=∠AQE=45°．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，同时涉及翻折不变性及线段的中点，解答时要灵活运用分类讨论的数学思想．