Question

12．已知：如图1，图2，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（0，2），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．
（1）求证：BD∥AC；
（2）如果OE⊥AC于点E，OE=2时，求点C的坐标；
（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标可得出点B为线段OA的中点，再结合点D为线段OC的中点，即可证得BD∥AC；
（2）在Rt△AOE中，由OA、OE的长即可得出∠OAE的度数，在Rt△AOC中可得出AC、OC的关系，再利用勾股定理即可得出OC的长度，根据点C的位置即可得出点C的坐标；
（3）连接BE，根据正方形的判定即可得出四边形ODEB是正方形，由正方形的性质即可得出点D的坐标，进而得出点C的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式．

解答 解：（1）证明：∵A（0，4），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，点B为线段OA的中点，
∵点D为OC的中点．
∴BD∥AC．
（2）∵OE⊥AC于点E，
∴△AOE是直角三角形．
∵OA=4，OE=2=$\frac{1}{2}$OA，
∴∠OAE=30°．
∵∠AOC=90°，∠OAC=30°，
∴AC=2OC．
在Rt△AOC中，由勾股定理可得：OC²+OA²=AC²，
即OC²+16=4OC²，解得：OC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0）．
（3）连接BE，如图所示．
当四边形ABDE为平行四边形时，DE∥AB，DE=AB．
由（1）知点B为线段OA的中点，
∴DE∥OB，DE=OB，
∴四边形ODEB是平行四边形，
∵OB⊥OC，
∴?ODEB是矩形．
∵BD∥AC，OE⊥AC，
∴OE⊥BD，
∴矩形ODEB是正方形，
∴OD=OB=2．
∵点D为OC的中点，
∴OC=2OD=4，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把点A（0，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x+4．

点评 本题考查了平行线的判定、勾股定理、特殊角的三角函数值、正方形的判定以及利用待定系数法求出一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据平行线的判定定理找出BD∥AC；（2）根据勾股定理求出OC的长度；（3）找出点C的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．