Question

20．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A，B两点，若A（4，1），点B的横坐标为-2．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+b的图象交x轴于点C，过C作x轴的垂线交反比例函数图象于点D，连接OA，OD，AD，求△AOD的面积．

Answer 1

分析 （1）由一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C、D两点，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A、B两点．已知点A坐标为（4，1），点B的横坐标为-2，利用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）作AE⊥x轴于E，先求得D的坐标，然后根据S_△AOD=S_△AOC+S_梯形ADCE-S_△AOE求得即可．

解答 解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴1=$\frac{m}{4}$，
解得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；
∵点B的横坐标为-2，
∴y=$\frac{4}{-2}$=-2，
∴点B（-2，-2），
将点A与B代入一次函数解析式，可得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{-2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-1；
（2）如图，作AE⊥x轴于E，
∵A（4，1），
∴OE=4，AE=1
由直线y=$\frac{1}{2}$x-1得C（2，0），
把x=2代入y=$\frac{4}{x}$得，y=$\frac{4}{2}$=2，
∴D（2，2）
∴OC=2，CD=2，
∴S_△AOD=S_△AOC+S_梯形ADCE-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$（2+1）×2-$\frac{1}{2}$×4×1=3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数的解析式求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．