Question

如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=20cm，DC=30CM，∠ADC=45度．对于抛物线部分，其顶点为CD的中点O，且过A、B两点，开口终端的连线MN平行且等于DC．
（1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系内，点C的坐标为（15，0），试求A、B两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过构建直角三角形来求A、B的坐标，作AE⊥DC，BF⊥DC，垂足分别为E、F；OF就是B点的横坐标，BF就是B点的纵坐标．不难得出OF=AB=10cm，在直角三角形BFC中，FC=（CD-AB）=5cm，∠BCF=45°，即可求出BF的长，也就得出了B点的坐标，A、B关于y轴对称，也就能求出A点的坐标；
（2）标志物的高度其实就是M、N两点的纵坐标．由于MN∥=CD，因此如果连接MD、NC，四边形MDCN就是矩形，那么M、N两点的坐标和D、C两点的横坐标相等，可根据A、B两点的坐标先确定出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式来求出M、N两点的坐标，即可得出标志物的高度；
（3）经过画图不难得出镀膜外围的周长应该是四条线段和四段圆弧的长．四条线段就是梯形的周长，而四段圆弧分别是两个圆心角为45°半径为3cm的弧长（A，B两个顶点所对的弧长）以及两个圆心角为135°半径为3cm的弧长（C、D两个顶点所对的弧长）．然后可根据各自的计算公式求出镀膜外围的周长．
解答：解：（1）作AE⊥DC，BF⊥DC，垂足分别为E，F，
∵AB∥DC
∴四边形AEFB为矩形
∴AE=BF，AB=EF=20
又∵AD=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）
∴DE=FC=（30-20）=5
又∵∠ADE=∠BCF=45°
∴AE=BF=DE=FC=5
又∵OD=OC=15
∴OE=OF=10
∴点A，B的坐标分别为（-10，5），（10，5）；

（2）设抛物线的函数解析式为y=ax²，
由点B（10，5）在其图象上得5=100a，解得a=，
∴抛物线的函数解析式为y=x²，
又∵MN∥DC，且MN=CD
∴点M，N关于y轴对称
∴点N的横坐标为15，
代入y=x²得y=
故标志的高度为cm；

（3）镀膜示意图如下：
由示意图可知，镀膜外围周长l由四条线段长和四条半径为3cm的弧长构成，
故l=5×2+20+30+×2+×2=10+50+6π．
所以镀膜的外围周长为（10+50+6π）cm．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰梯形的性质，三角形全等等知识点，考查学生数形结合的数学思想方法．