Question

12．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，E为AB的中点，AF⊥CE交CE的延长线于点F，连结DF，求证：四边形AFDC是等腰梯形．

Answer 1

分析 先证明A、C、D、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，证出∠2=∠5，得出AC∥DF，证出四边形AFDC是梯形，再证明∠FAC=∠DCA，即可证出结论．

解答 证明：如图所示：
∵CD⊥AB，AF⊥CE，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
又∵AC为△AFC和△ADC的公共斜边，
∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠1=∠5，
∴∠2=∠5，
∴AC∥DF，
又∵AC≠DF，
∴四边形AFDC是梯形，
∵∠1+∠4=∠5+∠3，
即∠FAC=∠DCA，
∴四边形AFDC是等腰梯形．

点评 本题考查了等腰梯形的判定、四点共圆、平行线的判定、圆周角定理；通过证明四点共圆得出同弧所对圆周角相等是解决问题的关键．