Question

20．先阅读并填空，再解答问题：
我们知道$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，那么$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，用含有n的式子表示你发现的规律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并依此计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 分子为1，分母为相邻2个自然数的分数应等于分子为1，分母分别为这两个自然数的分数的差，依此规律得到所要计算的式子的每个分数等于分子为1，分母分别为原分数中2个因数的分数的差的一半，进而化解计算即可．

解答 解：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，
$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，
$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1007}{4032}$．

点评 此题考查数的变化规律的应用；得到分子为1，分母为2个等差的数的积的分数的化简规律是解决本题的关键．