Question

已知抛物线y=a（x-1）²+m的顶点为P，与x轴的两个交点分别为A、B，且△PAB为直角三角形．
（1）设抛物线的对称轴与x轴交于E点，那么PE与AB有何数量关系？请说明其理由；
（2）若将抛物线向上平移2单位时，抛物线的顶点恰好在x轴上，不解方程求关于x的一元二次方程a（x-1）²+m=0的根；
（3）试写出a与m之间的函数关系式，并指明m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据二次函数的对称性可得AP=BP，从而判断出△PAB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据平移确定出PE=2，再根据等腰直角三角形的性质求出AE=BE=2，然后写出平移前点A、B的坐标，最后根据抛物线与x轴的交点问题解答；
（3）先用m表示出PE，再根据等腰直角三角形的性质表示出点A、B的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算即可得解．

解答：解：（1）PE=

1

2

AB．
理由如下：∵抛物线y=a（x-1）²+m的顶点为P，与x轴的两个交点分别为A、B，且△PAB为直角三角形，
∴△PAB是等腰直角三角形，∠APB=90°，
∴PE是等腰直角三角形斜边上的中线，
∴PE=

1

2

AB；

（2）∵若将抛物线向上平移2单位时，抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴PE=2，
∵PE=

1

2

AB，
∴AB=4，AE=BE=2，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴关于x的一元二次方程a（x-1）²+m=0的根为x₁=-1，x₂=3．

（3）∵PE=|m|，
∴AB=2|m|，
∴点A（1-|m|，0），B（1+|m|，0），
将点A坐标代入抛物线得y=a（1-|m|-1）²+m=0，
解得m=0或am=-1，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴m≠0，
∴am=-1（m≠0）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的性质，抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，难点在于（3）表示出点A、B的坐标．