Question

【题目】二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y＝ax2+bx+c	…	p	t	n	t	0	…

有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由抛物线的对称性可求对称轴为： ，可得p＝0，即x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，可判断②；当x＝0，y＝c＝t＞0，可得p+2t＝0+2t＞0，可判断③；由抛物线中在对称轴的右边，y随x的增大而减小，可得的a＜0，由对称轴x＝1可得b＝﹣2a＞0，可判断①；由x＝3，y＝0，可得c＝﹣3a，由顶点坐标为（1，n），a＜0，可得am2+bm+c≤a+b+c，可得am2+bm≤﹣4a﹣c，可判断④，即可求解．

解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，

∴对称轴为：，

∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，

∴p＝0，

∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；

∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，

∴t＝c＞0，

∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；

∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，

∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，

∴a＜0，

∵x＝，

∴b＝﹣2a＞0，故①正确；

∵当x＝3时，y＝0，

∴9a+3b+c＝0，

∴3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，

∵顶点坐标为（1，n），a＜0，

∴am2+bm+c≤a+b+c，

∴am2+bm≤a+b，

∴am2+bm≤﹣a，

∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，

综上，共有3个结论正确，

故选：C．