Question

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，AB=DE=4，∠ACB=∠DFE=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边AB的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE、EF分别交线段CA、BC于点M、N．
（1）如图①，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，则线段AM与MC的数量关系是

 

；
（2）如图②，求证：AM=MN+CN．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据AC=BC，E为AB中点，得出CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=

1

2

ACB=45°，∠AEC=90°，∠A=∠ACE=45°，AE=CE，再根据DF=EF，∠DFE=90°，得出∠FED=45°，∠FED=

1

2

∠AEC，即可得出AM=MC；                                   
（2）先在AM截取AH，使得AH=CN，连接EH，根据AE=CE，∠A=∠BCE=45°证出△AHE≌△CNE，HE=NE，∠AEH=∠CEN，∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF=90°-45°=45°，∠HEM=∠NEM=45°然后证出△HEM≌△NEM，HM=MN，最后根据AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案；

解答：解：（1）∵AC=BC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=

1

2

ACB=45°，
∴∠AEC=90°，
∴∠A=∠ACE=45°，
∴AE=CE，
∵DF=EF，∠DFE=90°，
∴∠FED=45°，
∴∠FED=

1

2

∠AEC，
又∵AE=CE，
∴AM=MC；                                   

（2）AM=MN+CN，理由如下：
在AM截取AH，使得AH=CN，连接EH，
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°
∵在△AHE与△CNE中：

AH=CN ∠A=∠NCE AE=CE

，
∴△AHE≌△CNE（SAS），
∴HE=NE，∠AEH=∠CEN，
∴∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF=90°-45°=45°，
∴∠HEM=∠NEM=45
∵在△HEM与△NEM中：

EH=EN ∠HEM=∠MEN ME=ME

，
∴△HEM≌△NEM（SAS），
∴HM=MN，
∴AM=AH+HM=CN+MN；
即AM=MN+CN．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，关键是做出辅助线，构造全等三角形．