Question

17．已知直线l₁：y₁=x+m与直线l₂：y₂=nx+3相交于点A（1，2）．
（1）求m、n的值；
（2）请在所给坐标系中画出直线l₁和l₂，并根据图象回答问题：
当x满足x＞1时，y₁＞2；当x满足0≤x＜3时，0＜y₂≤3；当x满足x＜1时，y₁＜y₂．
（3）设l₁交x轴于点B，l₂交x轴于点C，若点D与点A，B，C能构成平行四边形，直接写出D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标分别代入两直线解析式可分别求得m、n的值；
（2）由（1）可得两直线解析式，可分别求得两直线与x轴的交点坐标，利用两点法可画出函数图象；再结合A点坐标及函数图象可得到相应不等式中x满足和条件；
（3）由题可求得A、B、C的坐标，可表示出AB、BC、AC的长，再分AB为对角线、AC为对角线和BC为对角线，设出D点坐标，分别根据平行四边形的对边平行且相等，可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标．

解答 解：
（1）∵直线l₁和l₂相交于点A（1，2），
∵2=1+m，2=n+3，
解得m=1，n=-1，
∴m的值为1，n的值为-1；
（2）由（1）y₁=x+1，y₂=-x+3，
∴l₁和l₂与x轴的交点坐标分别为B（-1，0）和C（3，0），
又A（1，2），
∴两函数图象如图1所示，

由图象可知当直线l₁在A点右侧时，函数值大于2，∴当x＞1时，y₁＞2；
设直线l₂交y轴于点E，则E点坐标为（0，3），
∴当0≤x＜3时，0＜y₂≤3；
当在A点左侧时，直线l₁在l₂的下方，
∴当x＜1时，y₁＜y₂，
故答案为：x＞1；0≤x＜3；x＜1；
（3）由（2）可知B（-1，0），C（3，0），且A（1，2），
∴AB=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BC=3-（-1）=4，
①当AB为对角线时，如图2，过A作AD∥BC，连接BD，

∵四边形ACBD为平行四边形，
∴AD=BC=4，且AD∥BC，
∵A（1，2），
∴D（-3，2）；
②当AC为对角线时，同①可得D点坐标为（5，2）；
③当BC为对角线时，如图3，连接AD，交BC于点F，连接BD、CD，

∵AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，且AB=AC，
∴当四边形ABDC为平行四边形时，四边形ABDC为正方形，
∴AD⊥BC，且AF=DF，
∵A（1，2），
∴D（1，-2），
综上可知D点坐标为（-3，2）或（5，2）或（1，-2）．

点评 本题为一次函数综合应用，涉及知识点有函数图象交点问题、函数与不等式、平行四边形的性质、勾股定理、分类讨论思想和数形结合思想等．在（1）中掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，在（2）中注意数形结合思想的应用，在（3）中确定出D点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．